쌍곡선 함수

hyperbolic function ・ 雙曲線 函數

삼각함수가 원과 연관된다면 쌍곡선 함수는 쌍곡선과 연관된다는 특징이 있다. 삼각함수와 매우 유사한 성질을 띠며, 미분방정식과 함수 이론에서 쓰인다는 점에서도 비슷하다.

삼각함수는 원과 관련있는 함수이다. 즉,

로 매개변수화 하면

이 되므로 $xy$평면 상 중심이 원점인 단위원이 나오게 된다.

이와 유사한 방법으로

로 매개변수화 하면

이 되므로 쌍곡선의 방정식이 나온다. 바로 이 점 때문에 이 함수들을 쌍곡선 함수라 부르는 것이다.

이렇듯, 삼각함수와 유사한 특징이 많은 함수이지만, 결정적으로 쌍곡선 함수는 모든 실수에서 주기를 갖지 않는다는 차이점이 있다.

$\sinh$, $\cosh$, $\tanh$라는 기호는 각각 '쌍곡 사인', '쌍곡 코사인', '쌍곡 탄젠트'를 의미하는 라틴어 sinus hyperbolicus, cosinus hyperbolicus, tangēns hyperbolicus에서 유래했다. 이 함수들을 영어로는 '쌍곡선의(hyperbolic)'라는 단어를 각 삼각함수의 명칭 앞에 붙인 'hyperbolic sine', 'hyperbolic cosine', 'hyperbolic tangent'라고 한다.[1] 영어권에서는 발음이 길어지는 문제가 있어 다음과 같은 명칭이 통용되기도 한다.

각 함수의 그래프는 아래와 같다.

위에서 볼 수 있듯, $\sinh x$, $\tanh x$는 기함수, $\cosh x$는 우함수임을 알 수 있다. 또한, $\cosh x$는 점 $(0, 1)$을 지남을 알 수 있고, $\tanh x$는 점근선으로 $y = \pm 1$을 가짐을 알 수 있다.

$\tanh x$는 $\operatorname{erf}(x)$와 개형이 비슷하며, 이러한 개형을 시그모이드라고 부른다.[비교] 누군가는 아예 이걸로 논문을 쓰기도 했다.

$\cosh x$는 현수선의 방정식이라고도 한다. 실의 양 끝을 팽팽하지 않게 고정시켜 늘어뜨렸을 때의 형태를 현수선이라고 하는데, 이 방정식의 일반항이

이다. $a=1$일 때 $\cosh x$가 나온다.

이 함수들은 기본형에 역수를 취한 함수이다.

$\coth$, $\rm sech$, $\rm csch$ 역시 cotangēns hyperbolicus, secāns hyperbolicus, cosecāns hyperbolicus에서 유래한 표기이며, 영어로는 각각 'hyperbolic cotangent', 'hyperbolic secant', 'hyperbolic cosecant'라 읽는다. 기본형의 함수들과 마찬가지로, 영어권에서는 발음의 편의상 다음 명칭이 통용되기도 한다.

$\rm sech$은 따로 '오일러 수열 함수'라고 하기도 한다. 또한 정규 분포 그래프와 개형이 비슷하다.

이 함수들은 기본형과 역수형의 역함수들이다. 쌍곡선 $x^2 - y^2 = 1$과 직선 $y = x\tanh a$와 $x$축으로 둘러싸인 도형[3]의 넓이(area)가 $a$라는 특징으로부터 이들 역함수에는 접두사 $\text{ar-}$을 붙여 쓰는 것이 정식 표기이고, 따라서 이 표기에서 각 함수의 정식 명칭은 'area hyperbolic ~'이다. 그런데, 쌍곡선 함수가 삼각함수와 유사하기 때문인지 $\text{arc-}$를 붙인 틀린 표현[4]도 자주 볼 수 있다. TI-Nspire 시리즈나 Desmos가 이 틀린 표현을 사용하기 때문에, 이들을 다룰 땐 artanh(x) 대신 arctanh(x)라고 입력해야 한다.[5]

한편, 쌍곡선 함수가 지수함수를 이용해서 정의되는 특성상, 복소함수론에서는 역쌍곡선 함수의 정의역이 원래 함수의 지수, 즉 편각(argument)이 되기 때문에 간혹 접두사를 $\text{arg-}$로 쓰고 argument로 읽는 학자도 있다.[6]

실수 $x$에 대해 다음이 성립한다.

표기와 관련하여, $\rm arsinh$, $\rm arcosh$, $\rm artanh$, $\rm arcoth$, $\rm arsech$, $\rm arcsch$는 각각 $\rm sinh^{-1}$, $\rm cosh^{-1}$, $\rm tanh^{-1}$, $\rm coth^{-1}$, $\rm sech^{-1}$, $\rm csch^{-1}$로 나타내기도 하고 실제로도 편의성과 가독성 때문에 많이 사용되나[7], 역삼각함수의 경우처럼 수학계가 권장하는 표현은 아니다.

이번엔 그래프 상에서 쌍곡선 함수가 어떻게 정의되는지 보고자 한다.



쌍곡선 $x^2 - y^2 = 1$과 그 위의 한 점 $\rm P$에 대하여, 원점과 $\rm P$를 지나는 직선 $y = x\tanh a$, $x$축, 쌍곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이가 $a$[8]가 될 때, 점 $\rm P$의 $x$좌표와 $y$좌표는 각각 $\cosh a$, $\sinh a$이다.

첫 번째로는 위 문단의 쌍곡선 함수와 쌍곡선 사이의 관계를 설정하고, 이를 통하여 쌍곡선 함수가 어떻게 지수함수로 표현되는지 확인해보자.



위와 같이 단위 쌍곡선 $x^2 - y^2 = 1$ 위의 점 ${\rm P}(\cosh t, \sinh t)$를 지나는 직선을 $y = mx$라 하자. 그러면 쌍곡선 함수의 정의에 따라 $m = \dfrac{\sinh t}{\cosh t} = \tanh t$이다.

두 도형의 방정식을 연립하면 다음을 얻는다.

$y = mx$, $x$축, 단위 쌍곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$라 하자.

위 그림에서

이므로

이다. 한편, 쌍곡선 함수의 정의에 따라 $S = t/2$이다. 따라서

이다. 이때 $y = mx$의 기울기는 쌍곡선의 한 점근선 $y = x$의 기울기보다 작아야 하고, $x$의 범위는 $x > 0$일 때만 고려하므로, $0 < m < 1$이다. 따라서 절댓값을 벗길 수 있다. 이상에서 다음이 성립한다.

이것을 $m$에 관하여 정리하면,

그런데 $m = \tanh t$였음을 상기하면

이상에서

이다. 따라서 위 결과를 정리하면 다음과 같다.

이번에는 반대로 쌍곡선 함수를 먼저 지수함수로 설정하고, 이것이 어떻게 쌍곡선의 넓이와 관련이 있는지를 보고자 한다.



위 그래프에서 색칠된 부분의 넓이는

로 구할 수 있다.

쌍곡선 함수의 정의에 따라 $\cosh^2a - \sinh^2a = 1$이 성립하므로, 위의 적분에서 $y = \sinh u$로 치환적분하면 ${\rm d}y = \cosh u {\rm\,d}u$이므로, $y = 0$일 때 $u=0$이고 $y = \sinh a$일 때, $u = a$이므로, 위 적분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

이상에서 넓이가 $a/2$임이 증명됐다.

이 외에도 삼각함수를 다룰 때 다뤘던 특수함수의 극한 또한 쌍곡선 함수에서 성립한다.

이상은 모두 복부호 동순이다. 덕분에 삼각함수의 덧셈정리 형태를 알고 있으면 쌍곡선함수 덧셈정리를 외우는 것은 부호에 일관성이 있으므로 더 쉽다.

이상은 모두 복부호동순이다.

$\operatorname{artanh}x$와 $\operatorname{arcoth}x$의 도함수는 형태는 같지만 $x$의 범위가 다르다는 것에 주의하자.

위 식에서 $\operatorname{gd}x$는 구데르만 함수이고, ${\sf const.}$는 적분 상수이다.

단, ${\sf const.}$는 적분 상수이다.

위 식에서 $\operatorname{sgn}(x)$는 부호 함수, $\operatorname{Shi}(x)$와 $\operatorname{Chi}(x)$는 각각 쌍곡선 사인 적분 함수와 쌍곡선 코사인 적분 함수, $\operatorname{Li}_2(x)$는 폴리로그함수, $\operatorname{erf}(x)$는 오차함수, $\operatorname{erfi}(x)$는 복소오차함수, ${\sf const.}$는 적분 상수이다.

이 문단부터는 정의역을 복소수 영역까지 확장해서 다룰 것이다.

임의의 복소수 $z$에 대해

임과 오일러 공식에 의해

임을 안다. 이 두 사실을 이용하여 다음 관계식을 얻을 수 있다.

마찬가지로 다음 관계식도 얻을 수 있다.

또한, 복소수 범위에서 $\sinh$, $\cosh$, $\operatorname{sech}$, $\operatorname{csch}$ 함수는 $2\pi i$의 주기를 갖는다. $\tanh$, $\coth$는 $\pi i$의 주기를 갖는다.

아래는 $x=0$ 주위에서 전개한 것이다.

$B_n$은 베르누이 수열, $E_n$은 오일러 수열이다.