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삼각 적분 함수

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다른 뜻 아이콘   삼각함수의 역도함수를 구하는 방법에 대한 내용은 삼각함수/역도함수 문서를 참고하십시오.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
특수함수
Special Functions
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적분
오차함수(error function)(가우스 함수 · 가우스 적분 함수) · 베타 함수(불완전 베타 함수) · 감마 함수(불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수) · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수 · 세타 함수
미분방정식
르장드르 함수∗^\ast (구면 조화 함수) · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수
역함수
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급수
제타 함수 · 후르비츠 제타 함수 · 디리클레 베타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 폴리감마 함수 · 바이어슈트라스 타원 함수
정수론
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기타
헤비사이드 계단함수 · 부호 함수(절댓값) · 테트레이션(무한 지수 탑 함수) · 지시함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수
∗^\ast 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.
삼각함수 · 쌍곡선함수
Trigonometric Functions · Hyperbolic Functions
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 설명2. 특징
2.1. 윌브레이엄-기브스 상수
3. 관련 문서
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. 설명[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
삼각 적분 함수(三角 積分 函數, trigonometric integrals)는 특수함수의 하나로, 각각 Si(x)\mathrm{Si}(x), Ci(x)\mathrm{Ci}(x)로 표기하며, 정의는 다음과 같다.

Si(x)≡∫0xsin⁡tt dtCi(x)≡−∫x∞cos⁡tt dt\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Si}(x) &\equiv \int_{0}^{x}\frac{\sin{t}}{t}\,\mathrm{d}t \\ \mathrm{Ci}(x) &\equiv -\int_{x}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}[1]

이 함수에 대한 그래프는 아래와 같다.

나무 삼각적분함수 그래프 NE...
위 그래프에서 보듯 lim⁡x→∞Si(x)=π/2\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Si}(x) = {\pi}/{2} , lim⁡x→∞Ci(x)=0\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Ci}(x) = 0이다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. 특징[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
특이하게도 사인, 코사인만 적분이 정의되고 그 외의 삼각함수는 적분이 정의되지 않으며, 원본 함수와는 달리 Si(x)/Ci(x){\mathrm{Si}(x)}/{\mathrm{Ci}(x)}를 한다고 탄젠트 적분 함수를 만들 수 있는 것도 아니다.

사인 곡선에서 유도되는 함수인 만큼 파동이나 전기적 신호를 다루는 학문에서 널리 쓰인다.

둘 다 대칭함수이다. Si(x)\mathrm{Si}(x)는 홀함수, 실수부를 취한 ℜ(Ci(x))\Re(\mathrm{Ci}(x))는 짝함수이다.[2]

양수 범위에서 Si(x){\rm Si}(x)는 x=πx=\pi에서, Ci(x){\rm Ci}(x)는 x=π/2\displaystyle x={\pi}/{2}에서 최댓값을 갖는다.

다음은 같이 급수 전개식을 갖는다. 이 식은 독일의 수학자 요한 폰 졸트너가 1809년에 제시했다.[출처] 아래의 식에서 γ\gamma는 오일러-마스케로니 상수이다.
Si⁡(x)=∑r=1∞(−1)r−1x2r−1(2r−1)⋅(2r−1)!Ci⁡(x)=−γ−ln⁡x−∑r=1∞(−1)rx2r2r⋅(2r)!\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Si}(x) &= \sum_{r=1}^\infty \frac{(-1)^{r-1} x^{2r-1}}{(2r-1)\cdot(2r-1)!} \\ \operatorname{Ci}(x) &= -\gamma -\ln x -\sum_{r=1}^\infty \frac{(-1)^r x^{2r}}{2r \cdot (2r)!} \end{aligned}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.1. 윌브레이엄-기브스 상수[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
수학상수
Mathematical Constants
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00
덧셈의 항등원
11
곱셈의 항등원
2\sqrt{2}
제곱근 2∗^\ast
495495, 61746174
카프리카 상수
00, 11, 34353435, 438579088438579088
뮌하우젠 수
π\pi
원주율∗∗^{\ast\ast}
τ\tau
새 원주율∗∗^{\ast\ast}
ee
자연로그의 밑∗∗^{\ast\ast}
φ\varphi
황금비∗^\ast
ii
허수단위
GG
카탈랑 상수∗?^{\ast?}
ζ(3)\zeta(3)
아페리 상수∗?^{\ast?}
Si(π){\rm Si}(\pi)
윌브레이엄-기브스 상수?^{?}
γ\gamma
오일러-마스케로니 상수?^{?}
γn\gamma_n
스틸체스 상수?^{?}
Ω\Omega
오메가 상수∗∗^{\ast\ast}
222^{\sqrt{2}}
겔폰트-슈나이더 상수∗∗^{\ast\ast}
Cn C_n\,
챔퍼나운 상수∗∗^{\ast\ast}
A A\,
글레이셔-킨켈린 상수?^{?}
Ak A_k\,
벤더스키-아담칙 상수?^{?}
δ\delta
곰페르츠 상수?^{?}
μ\mu
라마누잔-졸트너 상수?^{?}
B2B_{2}, B4B_{4}
브룬 상수?^{?}
ρ\rho
플라스틱 상수∗^\ast
δ\delta, α\alpha
파이겐바움 상수?^{?}
GG
란다우 상수?^{?}
CAC_A
아르틴 상수?^{?}
ζn\zeta_n
11의 nn제곱근[1]
?^{?} 유리수인지 무리수인지 밝혀지지 않음
∗^\ast 초월수가 아닌 무리수임이 증명됨
∗?^{\ast?} 무리수임이 증명됨, 초월수인지 아닌지 밝혀지지 않음
∗∗^{\ast\ast} 초월수임이 증명됨
[1] 정의에 따라 초월수가 아닌 대수적 수이다. 11의 거듭제곱근 중 11, −1-1, ii, −i-i를 제외한 근들은 모두 무리수 실수부 또는 허수부를 가진다. 일반적으로 무리수는 실수의 부분집합으로서만 정의되므로 11, −1-1을 제외한 11의 거듭제곱근은 유리수나 무리수로 구분하지는 않는다.
Wilbraham-Gibbs constant

위에서 언급한 Si(x){\rm Si}(x)의 최댓값인 Si(π){\rm Si}(\pi)는 따로 윌브레이엄-기브스 상수라는 이름이 붙어 있다. 약 1.8519371.851937 정도의 값으로, 푸리에 급수의 부산물 중 하나이다. 헨리 윌브레이엄과 조시아 윌러드 깁스가 발견했다.

저 윌브레이엄-기브스 상수에 2/π\displaystyle {2}/{\pi}를 곱하면 '기브스 상수'[4]라는 또 다른 상수가 된다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. 관련 문서[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[1] 그래프 그려주는 프로그램 중 하나인 Desmos에서는 무한대를 입력할 수 없던 시절부터 Ci(x)=∫0xcos⁡t−1t dt+ln⁡x−∫01ln⁡ ⁣[ln⁡ ⁣(1t)]dt\displaystyle \mathrm{Ci}(x)=\int_0^x\frac{\cos t-1}t\,\mathrm{d}t+\ln x-\int_0^1\ln{\!\left[\ln{\!\left(\frac1t \right)} \right]}\mathrm{d}t로 입력할 수 있다. 요즘은 infinity(모바일에선 infinity 점자로,=)라 쓰면 ∞\infty가 입력되지만 아직까지 사용은 제한적이다. 당장 이 함수도 제대로 출력되지 않는다.[2] 실수부를 취하지 않을 경우 x<0x<0 범위에서 Ci(x)=ℜ(Ci(x))+iπ\mathrm{Ci}(x)=\Re(\mathrm{Ci}(x))+i\pi이므로 짝함수가 아니다.[출처] Johann Georg von Soldner, 1809, treatise Théorie et tables d'une nouvelle fonction transcendante (영어 번역: Theory and tables of a new transcendental function)[4] 약 1.1789801.178980
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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