복소로그함수

복소해석학에서 로그함수의 진수를 복소수로 확장한 것이다. 간단히 말하면 복소 자연로그 $w=\log z$는 $z=e^w$의 역함수로 정의되고, 일반적 로그함수는 몫 $\log_ab=(\log b)/(\log a)$로 정의될 수 있다. 다만, 이 역함수를 $z\ne0$인 모든 복소수에서 항상 잘 정의되게 하는 것이 불가능하기 때문에, 사용 시 약간의 주의가 필요하다.

오일러 공식 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$를 이용하면 $\log(-1)$이 무엇인지 알 수 있다. 정수를 $n$으로 나타낼 때 $x=\pi+2n\pi=(2n+1)\pi$를 대입하면 $e^{i(\pi+2n\pi)}=\cos(\pi+2n\pi)+i\sin(\pi+2n\pi)=-1$이므로, 양변에 로그를 취하면 다음과 같이 로그의 결과값으로 복소수가 나온다.

오일러 공식의 $x$값에 적당한 다른 수를 대입함으로써 허수에 대한 로그값도 구할 수 있다. $x=\dfrac\pi2+2n\pi=\biggl(\dfrac12+2n\biggr)\pi$ 를 대입하면 $e^{i{\left(\frac\pi2+2n\pi\right)}}=\cos{\left(\dfrac\pi2+2n\pi\right)}+i\sin{\left(\dfrac\pi2+2n\pi\right)}=i$이므로, 양변에 로그를 취하면

위 관계식에서 $n=0$인 경우, $\log$를 $\rm Log$로 나타낸다.

좀더 일반적인 표현을 위해서는 오일러의 공식과 복소수의 극형식을 이용해, $z=e^w$ ($z\ne0$)이 되는 복소수 $w$를 모두 구해보면 다음과 같다. 복소수 $z$의 편각을 $\theta$라 하면 다음이 성립하므로

해 하나를 $w=\log|z|+i\theta$로 찾을 수 있다. 역으로 만약 $w=x+iy$가 $z=e^w$를 만족시킨다면,

에서 $(x,y)=(\log|z|,\theta+2n\pi)$의 해를 얻는다.

복소 자연로그를 다가 함수(multivalued function)로 보는 입장에서는 이들 수 모두가 로그의 값이 된다. 편각에 대해서 쓰는 $\arg z$라는 표기는 $\theta+2n\pi$ 중 어떤 것도 될 수 있는 각으로 쓰인다.

이 다가함수를 일반 함수로 생각하려면 이 편각 중에서 정확히 하나를 골라 줘야 하는데, 보통 다음의 과정을 걸친다. 우선, 좌표평면에서 원점을 출발한 반직선 $l$ 하나를 정해 정의역에서 제외하고, 이를 분지 절단(branch cut)이라고 한다. 이 $l$이 원점에서 $\alpha$의 일반각으로 뻗어 있다고 하면, 정의역 $\cnums\setminus l$ 위에서 편각이 구간 $(\alpha-2\pi,\alpha)$에 속하게 유일하게 결정할 수 있다. 이렇게 선택된 함수를 일반적으로는 다가함수의 분지(branch)라 한다.

로그함수의 주 분지(principal branch)는 이 분지들 중에서 $\alpha=\pi$인, 즉 음수인 반직선으로 분지 절단을 했을 때 나타나는 분지를 의미한다. 이 분지에 대한 범위 $(-\pi,\pi]$로 고정된 편각을 $\operatorname{Arg}$, 이 범위에서 정의된 로그함수를 따로 $\operatorname{Log}$라 표기한다.

이렇게 직선을 잘라내는 이유는 정의역 위에서 편각이 연속적으로 변하게 만들어야 하기 때문이다. 예로 주 분지에서 $z=-1+\epsilon i$ ($\epsilon>0$)를 따라 접근하는 극한은 $\operatorname{Log}(z)\to i\pi$가 되지만, $z=-1-\epsilon i$를 따라 접근하면 $\operatorname{Log}(z)\to-i\pi$가 되기 때문이다. 원점을 중심으로 한 바퀴 돌 때마다 편각이 $2\pi$씩 증가하기 때문에, 돌지 못하도록 직선을 잘라준다고 이해하면 편하다.

한편, $\Re(z)<0$일 경우 $\operatorname{Log}(z)=\operatorname{Log}(|z|)+i\pi$가 성립하므로 실수부를 취한 $(\Re\circ\operatorname{Log})$는 $y$축 대칭함수(even function)이다.

영역 내에서 연속인 복소로그함수가 존재한다면 미분가능하고[1], 그 미분은 $1/z$이 되어야 함을 증명할 수 있다. 역으로 영역 내에서 $1/z$의 원시함수가 존재한다면 이는 (복소로그함수)+(상수)의 형태로 나타난다. 한편 정칙함수의 원시함수가 존재할 필요충분조건은 영역 내의 임의의 닫힌 고리 위에서 선적분이 0인 것인데, 고리 위에서 ${\rm d}w/w$의 선적분 값은 일반적으로 $2\pi i$*(원점을 도는 횟수)로 주어진다.

이를 종합하면, $z=1$을 포함하는 열린 영역 $U\sub\cnums\setminus0$에 원점을 포함하는 고리가 없을 때, $U$ 위에서의 복소로그함수의 분지는 다음의 복소선적분으로 유일하게 존재한다.

역으로 $U$ 내부에 원점을 한 바퀴 이상 도는 고리가 있다면, $U$ 위에서 연속인 복소로그함수는 존재하지 않는다.

일반적인 다가함수의 분지는 열린 집합 $U$에서 다가함수와 일치하는 연속함수로 정의되고, 위의 분지는 여기서 $U$를 $\cnums\setminus l$로 택한 특수한 경우이다. 예를 들자면, 분지 절단으로 원점에서 뻗어나가는 직선이 아니라 아무 모양의 곡선을 잘라내도 문제는 없고, 이 때 편각의 의미는 정의역 $U$ 위에서만 이동할 때에 일반각이 변한 정도로 해석할 수 있다. 역으로 다가함수를 정확히 이해하려면 이들 분지들을 모두 붙인 리만 곡면(Riemann Surface)으로 생각해야 하고, 특히 복소로그함수의 리만곡면은 $y=e^z$인 $(y,\,z)\in\cnums^2$의 집합으로 생각할 수 있다.