미분형식

微分形式・differential form

일변수 및 다변수 미적분학에서 쓰이는 개념으로, 고전적인 '무한소'의 개념을 엄밀히 하고 다차원으로 확장했다고 볼 수 있다.

보통 다변수 미적분학을 어느 정도 배우고 나서야 학습하게 되지만, 그 실체는 고등학교에서 미적분을 배울 때부터 숨어 있었다고도 볼 수 있다. 이는 미분형식이 '적분할 수 있는 무언가'의 개념을 모두 포괄해 설명할 수 있기 때문이다. 즉 일변수함수 적분에 나오는 $\mathrm{d}x$, 다변수함수의 기울기 $\mathrm{d}f$, 다중적분에서 나오는 $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$, 심지어는 물리학 등에서 쓰는 넓이/부피요소 $\mathrm{d}A$, $\mathrm{d}V$까지도 모조리 미분형식이라는 이름으로 대통합할 수 있다고 보면 된다. 결정적으로, 3차원의 벡터장과 엮이는 델의 삼신기인 경사(gradient)/회전(curl)/발산(divergence)을 가장 일반적이면서도 우아하게 설명할 수 있는 게 바로 이 미분형식이다.

물론 이 정도의 파워를 갖고 있는 만큼 이해하는 게 쉽지만은 않아서, 델에 어느 정도 익숙해지고 $n$차원 미분다양체를 이해할 수 있을 시점에야 배우는 것이 보통이다. 이 풀버전을 배우지 않을 사람들은 바로 아래 '예시' 항목을 보면서 대충 이렇게 생겼을 것이라고 유추해보자.

미분형식의 일반적인 정의를 간단히 말하면 미분다양체의 각각의 접평면에 부여된 매끄러운(smooth) $(0,\,k)$-교대 텐서 (즉, 선형사상 $\wedge^k T_p M \rightarrow \mathbb{R}$)라고 할 수 있다. 자세한 정의는 하단에 서술한다. 미분기하학 및 층(sheaf)의 개념에 익숙한 숙련자들은 접평면의 다발의 쌍대공간인 공변접다발(cotangent bundle) $T^{*}M$의 외대수(exterior algebra) 혹은 교대 대수(alternating algebra)를 미분형식의 층으로(즉, 이 층의 단면(section)이 미분형식이 된다.) 간주하기도 한다. $k$차 및 전체 미분형식의 모음(혹은 층)을 각각 $\Omega^k(M)$, $\Omega(M)$으로 쓰고, 개별 미분형식은 주로 $\omega$, $\eta$ 등의 기호를 쓴다.

구분구적법을 통해 적분을 정의할 때는 다음과 같이 분할에 대한 리만합을 미세한 합으로 극한을 보내는 방식을 썼다.

여기서 $\Delta x$는 분할된 각각의 직사각형의 너비였지만 $\mathrm{d}x$의 실체는 무엇인가에 대해 의문을 품을 수 있다. 특히나 다음의 치환적분을 $x = g(y)$로 한다고 했을 때

위의 분할과 이를 연관지으려면 그 의미가 분명하지 않다. 현대의 미분형식 관점에서는 이 '무한소'의 개념을 개별 길이가 아니라, 일종의 비율의 개념으로 설명해 이해할 수 있었다. 즉, $\mathrm{d}x$란 걸 미세 길이 자체가 아니라, (분할한 구간):(구간에서 $x$의 변화량)의 비율로 이해하는 것이다. 이렇게 생각하면 $x$를 기준으로 분할하건 $y$를 기준으로 분할하건, $\mathrm{d}x$는 변수에 상관없는 고정된 의미를 갖는 물리량이다. 또한 $\mathrm{d}x$가 $g'(y)\,\mathrm{d}y$로 대체되는 과정도, $x$의 변화율과 $y$의 변화율의 비율이 $g'(y)$여서 그렇다고 생각할 수 있는 것이다.
즉, 각 점 $p$에 대해 $\mathrm{d}x(p)$는 $p$ 근방에서 (구간의 길이):($x$의 변화량)의 극한비율로 정의할 수 있다. 1-형식의 가장 원초적 정의인 것.[1]

박부성 교수(경남대학교)의 다음 글도 참고하면 좋다. 사실 미분 입장에서 설명한 저 글이 보다 근본적이라고 볼 수 있다.

다변수 미적분학을 배울 때 간혹 편미분과 더불어 함수의 '전미분'(全微分, total derivative)이란 대상을 다음과 같은 미분(differential)으로 정의할 때가 있다.

여기서의 $\mathrm{d}x_i$의 정체도 사실 위와 비슷하게 $x_i$의 변화량의 비율의 일종이다. 이 경우에는 한 점에서 뻗어나갈 수 있는 방향이 $n$차원이어서, $\mathrm{d}x_i$는 $n$차원 벡터를 숫자에 대응시키는 선형함수, 즉 코벡터(covector)[2]로 봐야 한다. 일반적으로 $\mathrm{d}f$도 이와 동일하게, $v$ 방향에 대해 $f$의 변화량의 비율을 주는, 즉 방향미분으로 정의될 수 있다.

이렇게 보면 $\mathrm{d}x_i$도 $f=x_i$인 경우인 것이고, 이 전미분도 좌표계에 의존하지 않는 고유한 양이 된다는 것을 관찰할 수 있다. 이것도 각 점에서 벡터를 집어넣었을 때 실수가 나오는 1-형식이다.

쉽게 말하자면 전미분은 변수의 작은 변화에 따른 다변 함수의 변화량을 뜻하는 것이다.

중적분에서 나오는 $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$에서 각각의 $\mathrm{d}x$, $\mathrm{d}y$도 위와 비슷하게 생각할 수 있다. 하지만, 다변수의 치환적분인 야코비안

는 얼핏 보면 위에 기껏 증명한

등과 전혀 맞지 않는 것으로 보인다. 이는 $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$가 단순한 곱으로 연결되어 있지 않기 때문이다. 당장은 매우 뜬금없지만, 만약에 $\mathrm{d}x$와 $\mathrm{d}y$ 사이에 사실 쐐기(wedge)라는 기호 $\wedge$가 있었고, 다음을 만족했다고 생각해보자. (나머지 함수의 곱에 대해선 분배법칙으로 작용한다.)

이걸 가정하면 야코비안 변환식을 다음처럼 얼추 그럴싸하게 얻을 수 있다![3]

'적분의 정의'의 관점을 생각해보면 $\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = \mathrm{d}A$도 넓이에 근거해 정해졌음을 알 수 있다. 즉, 도형을 작은 도형 $P_i$들로 분할했을 때의 리만합 $\sum f(x_i,\,y_i)\,\mathrm{Area}(P_i)~( (x_i,\,y_i) \in P_i)$의 극한값이 면적분이 되는데, 이게 결국 푸비니 정리에 의해 이게 다중적분과 일치하는 만큼, 즉 $\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y$는 주어진 점 근방의 도형을 $(x,\,y)$로 이동시켰을 때의 넓이의 배율로 생각할 수 있다. 코벡터들에 쐐기를 때렸다고 어떻게 넓이의 배율이 나오는지 정확히 이해하려면, 아쉽게도 행렬식은 물론이요 저 쐐기 기호의 정확한 정의를 알아야 하므로 다중선형대수(multilinear algebra)의 지식이 필요하긴 하다. 다만, 저 쐐기란 게 얼추 행렬식처럼 작용한다는 것을 위의 야코비안 변환식을 통해서 느낀다면, 아쉬운대로 저게 벡터들을 집어넣었을 때 이들로 이루어지는 평행사변형(3개 이상의 쐐기곱이면 평행육면체)의 넓이를 옮겨주는 함수, 즉 교대텐서(기하학에서 말하는 $(0,\,k)$-교대텐서, 대수학에서는 $\wedge^k((\mathbb{R}^n)^{*})$)가 된다고 받아들이는 정도는 가능할 것이다.

이것을 가장 넓은 범위에서 일반화하면 각 점에서 $k$차원 넓이요소를 집어넣었을 때 이걸 숫자로 대응시키는 $k$-형식의 개념이 된다. 다만, $n$차원 공간의 $k$차원 넓이요소는 ($\wedge^k(\mathbb{R}^n)$의 차원인) $\binom{n}{k}$개의 방향이 있고, 이들이 무엇을 의미하는지 체감하는 것은 또 다른 문제이다. 이것은 스토크스 정리의 쉬운 경우(그린 정리나 켈빈-스토크스 정리) 등으로 경험을 쌓는 수밖에 없다.

미분형식을 이해하려면 미분다양체와 접평면, 텐서에 대한 배경 지식이 필요하다. 본 문단에서는 실수 미분 형식에 대해서만 정의한다.

미분다양체의 열린집합 $U \subset M$ 위에서의 $k$-형식도 점 $p$의 조건을 $p \in U$로만으로 완화해 적용할 수 있다. $\mathrm{d}x/x$ 같이 미분형식이 모든 점에서 정의되지 않는 경우에 사용가능하다.

같은 차수의 미분형식에 대해서는 덧셈, 뺄셈, 매끄러운 함수에 대한 스칼라곱을 정의할 수 있고, 이 세 연산에 대해 $\Omega^k(M)$은 매끄러운 함수의 환 $C^{\infty}(M)$에 대한 가군을 이룬다. 한편, 텐서의 쐐기곱(wedge product)을 점별로 생각하면 미분형식의 쐐기곱 $\wedge : \Omega^k(M) \times \Omega^l(M) \rightarrow \Omega^{k+l}(M)$을 정의할 수 있고, 이 쐐기곱은 결합법칙과 위의 가군 연산에 대한 분배법칙을 만족한다. 또한 매끄러운 함수를 $0$-형식으로 간주하면 함수에 대한 스칼라곱과 쐐기곱이 일치한다.(즉 $f \omega = f \wedge \omega$) 보통 이 셋을 종합해 모든 미분형식의 직합(direct sum) $\Omega(M) = \oplus \Omega^k(M)$에 층이 있는 대수(대수 구조)(graded algebra) 구조가 주어졌다고 표현한다. 다중선형대수에선 이런 식으로 쐐기곱을 이용해 만들어진 대수를 보통 외대수(exterior algebra)라고 부른다.

미분기하학에 상당히 익숙해졌다면, 공변접다발(cotangent bundle) $T^{*}M$에 주어진 외대수 자체가 $\Omega(M)$이 되고, 이것의 차수 $k$ 부분이 $\Omega^k(M)$이며, $k$-형식은 $\Omega^k(M)$의 대역 단면(global section)이 된다는 식으로 위 내용들을 표현할 수도 있다.

외미분을 미분형식 자체에 대해 정의하는 내적인 정의(intrinsic definition)도 가능하긴 하지만 의외로 복잡해서 정의로 채택되는 경우는 드물다.
이 외미분이 미분형식의 핵심 개념 중 하나이긴 하지만 의외로 바로 이해하긴 쉽지 않다. 위의 두 성질을 이용해 계산을 하고, 아래의 델이나 스토크스 정리를 통해 의미를 이해하는 경우가 보통이다. 다행히도 다음 표현으로 인해 외미분의 계산은 그렇게까지 어렵진 않다.

이 표현에서 외미분을 계산하는 방법은 다음과 같다. 우선 $\mathrm{d}x_I$의 외미분은 $0$임을 보일 수 있다. 즉, $\mathrm{d}(f\,\mathrm{d}x_I) = \mathrm{d}f \wedge \mathrm{d}x_I$을 계산하면 되는데, $\mathrm{d}f = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,\mathrm{d}x_i$이고 $\mathrm{d}x_i \wedge \mathrm{d}x_I= \mathrm{d}x_i \wedge \mathrm{d}x_{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x_{i_k}$는 앞뒤자리만 바꿔서 $\mathrm{d}x_{I'}$꼴로 바꿔준다. 구체적인 예시를 보고 싶으면 아래의 델 관련 부분을 계산해볼 수도 있다.

견인은 미분형식의 외대수 구조와 외미분을 보존한다. 이름처럼 미분형식의 구조를 다른 공간으로 끌어온다는 의미를 담고 있다.

미분형식의 적분은 다양체 $M$이 유향(orientable)이고 미분형식이 compact support를 가져야 적분의 존재성을 일단 보장할 수 있다. 이 조건 하에선 미분형식을 유클리드 공간으로 견인한 후 그 위에서 통상적인 중적분을 통해 하게 되는데, 보통 다음 세 단계로 나누어 정의한다. 이 정의는 잘 정의되어 있고(즉, 계산 방법에 의존하지 않고) 통상적인 적분에 기대할 수 있는 선형성 성질 등을 모두 만족시킴을 증명할 수 있다. 일반적인 견인에 대해서도 적분이 보존된다.

위 서술만으로는 약간의 애매함이 있는데, 우선 $\omega$는 적분이 가능한 것으로 간주한다. 이제까지는 경계가 있는 다양체에 대해 미분형식을 정의하지 않았지만 큰 정의는 크게 다르지 않다. 이 과정을 엄밀하게 할 수 있으면 경계 위에서 $\partial X$의 접평면은 $X$의 접평면의 부분공간으로 간주할 수 있으므로 좌변의 적분도 잘 정의할 수 있다. 스토크스 정리 문서를 참고하여도 좋다.

스토크스 정리의 증명 자체는 의외로 어렵지 않은데,(??????) 적분이 pullback에 대해 보존되고 선형성을 만족한다는 것을 보이면 partition of unity를 잘 써서 $M$이 $\mathbb{R}^n$의 직사각형일 때만 보이면 충분하다는 걸로 환원해서 진행하곤 한다. 직사각형인 경우는 단순계산으로 증명할 수 있다. 사실 더럽고 짜증나는 것은 이 정리를 서술하기 위한 모든 과정으로, 많은 수업/교과서에선 여기까지 온 학습자들에 대한 보상 느낌으로 끝자락에 배치되는 경우가 많다.

보다 중요한 것은 이 정리를 어떤 식으로 활용하냐이다. 우선 이 정리는 외미분에 대한 해석을 제공하는데, 위의 정리에서 $M$을 주어진 점 $p$ 근방으로 잡고 영역을 한없이 축소시키면 $\mathrm{d} \omega_p$의 값을 구할 수 있다. 아래에 나오는 발산(divergence) 등과 연관시켜 발산을 점 주변의 흐름의 극한, 즉 퍼져나오는 양 이런 느낌으로 이해하는 것과 비슷한 맥락이다. 한편으로는 위 성질은 완전 형식(exact form, $\omega = \mathrm{d}\nu$ 꼴의 형식)이 닫힌 형식(closed form, 경계가 없는 영역에서 $\int_N \omega = 0$)이 된다는 것의 일반화로도 볼 수 있고, 이 얘기를 또 끌어나가면 위상수학에서의 코호몰로지에 대한 이야기로도 풀어갈 수도 있다.

3차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^3$의 직교좌표계 $x$, $y$, $z$ 기준으로 미분형식과 그 외미분은 다음처럼 계산할 수 있다.

이 셋을 각각 직교좌표계의 경사(gradient), 회전(curl), 발산(divergence)과 비교해 보자. 100% 동일한 표현임을 볼 수 있을 것이다.

즉, 델 삼종세트는 모두 이 외미분의 특수한 경우로 이해할 수 있다. 이 대통합 관점에서 보면 선적분의 기본정리, 켈빈-스토크스 정리, 3차원에서의 발산 정리도 결국 각각 $1$, $2$, $3$-형식에 대한 일반화된 스토크스 정리의 특수한 경우에 지나지 않는다. 경사, 회전, 발산을 둘씩 합성하면 $0$이 되는 것도, 즉 $\nabla \times (\nabla f) = 0$이 되고 $\nabla \cdot (\nabla \times {\bf A}) = 0$이 되는 것도 다 $\mathrm{d}^2 = 0$으로 설명할 수 있다. 비슷하게, 2차원에서 나오는 그린 정리와 발산 정리도 $1$-형식과 $2$-형식에 대한 스토크스 정리의 일부로 이해할 수 있다.

미분형식에 대해 엄밀하게 배우지 않을 사람들도 이 큰 그림 하나 정도 챙겨두고 가는 건 충분한 가치가 있을 것이다. 특히 델을 많이 쓰는 물리학도라면.

다만, 주의할 점이 한 가지가 있다. 이 이해 방식에서는 $2$-형식을 벡터장으로, $3$-형식을 함수로 해석하는데, 이들을 자연스럽게 같게 보는 것은 유클리드 공간 한정이다. 더 정확히는 접평면에 내적이 있을 때, 즉 리만 다양체 한정으로 호지 쌍대(Hodge dual)라는 연산 $\star : \Omega^k \rightarrow \Omega^{n-k}$을 통해 가능하다.