정수

整數 / integer

$n$이 0 또는 자연수일 때, $n+x=0$[2]을 만족하는 모든 $x$와 모든 $n$이다.[3] 그리고 특정 $n$에 대한 $x$의 표기를 $x=-n$이라 한다.

집합 기호 표현으로는 독일어의 Zahlen의 앞 글자에서 따온 $\mathbb{Z}$를 사용한다.[4] 한자 '정(整)-'은 가지런하다는 뜻을 담고 있다.

정수 내에서는 자연수를 양의 정수라 부르며, $\{ -1,\,-2,\,-3,\cdots \}$를 음의 정수라고 한다. $0$은 양의 정수도, 음의 정수도 아닌 정수이다.

정수 집합 기호의 응용으로, 양의 정수의 집합을 $\Z^+$, 음의 정수의 집합을 $\Z^-$, $0$ 이상의 정수의 집합을 $\Z^{0+}$, $0$ 이하의 정수의 집합을 $\Z^{0-}$라고 표기한다.

유리수의 기약 분수 표현에서 분모가 $1$인 것들만이 정수가 된다. 임의의 실수는 정수 $n$과 $0 \le x < 1$인 소수 $x$의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다는 성질이 있고, 여기서 $x$가 $0$일 때만이 정수가 되는 것은 당연하다. 이때 $n$을 정수 부분, $x$를 소수 부분이라 한다. 상용로그의 지표와 가수를 생각하면 된다. 이렇게 보면 실수가 먼저이고 정수가 나중이라고 보기 쉽고 고등학교 과정까진 (심지어 수학과를 뺀 다른 대학교 과정에서도) 이런 식으로 배우는 것이 보통이다. 하지만 현대 수학에선, 당장 대학교 수학과 학부 과정에 이르러선, 오히려 그 반대로 가는 것이 맞는다. 현대 수학에서는 공리적으로 접근하므로 가장 구성하기 쉬운 자연수에서 시작해서 정수, 유리수, 실수 등으로 확장해 나가는 방식을 사용한다. 즉, 정수로부터 (일단 유리수를 만든 다음 여기서) 실수를 '만들어내는' (정확히 말하자면 '확장하는') 것이 맞는다. 물론, 정수도 자연수로부터 만들어지는 것이다. 물론 이건 수학적인 관점, 특히 대수학적 관점에 치중한 것이고, 자연계에서 측정되는 물리량들이 모두 실수인 것을 생각하면 생각보다 복잡한 문제이겠다. 사실, 현대 수학이 탄생하기 이전 약 백수십여 년 전만 해도 유리수까지만 수(number) 취급을 하였고, 실수는 수가 아닌 다른 것(magnitude) 취급을 하였다.

정수 집합 $\mathbb{Z}$은 자연수 집합 $\mathbb{N}$과 그 농도가 같은데, 자연수 집합 $\mathbb{N}$에서 정수 집합 $\mathbb{Z}$으로 가는 일대일 함수 $f$를 다음과 같이 정의할 수 있기 때문이다.[5]

  자세한 내용은 정수론 문서를 참고하십시오.

정수(및 자연수)의 성질을 탐구하는 학문을 정수론이라 한다. 정수론은 수학의 굵직한 분야 중 하나고, 어찌 보면 이는 정수가 실수보다 복잡한 성질을 갖고 있다는 의미이다.[8]

흔한 오해와 다르게 정수론에서는 사전적인 정수만 다루는 것이 아닌, 일반적인 정수와 같은 성질을 보존하는 환(ring)의 성질 자체를 탐구하는 것이기 때문에 정작 실제 값은 실수나 복소수가 들어갈 때도 있다.

대표적인 예로 정수 $a$가 square free일 때[9] $\mathbb{Z}\left[\sqrt{a}\right] = \left\{ n + m \sqrt{a} : n, m\in \mathbb{Z} \right\}$ 같은 집합을 생각할 수 있다. $a=-1$일 때 이 집합은 실수부와 허수부가 모두 정수인 가우스 정수(Gaussian integer)라는 이름으로 불린다. 이 가우스 정수에서는 $2$가 소수가 아니게 된다. $2=\left(1+i\right)\left(1-i\right)$이기 때문. $\sqrt{a}$를 공통 수학에서 나오는 3차 단위근 $\omega$[10]으로 바꾸면 이 집합은 아이젠슈타인 정수(Eisenstein integer)라는 이름이 붙고, 페르마의 마지막 정리에서 $n=3$인 경우를 증명할 때 사용된다.

  자세한 내용은 분류:정수 문서를 참고하십시오.