플랑크 상수

플랑크 상수(플랑크常數, Planck constant)는 단위 진동수 당 에너지 값이다. 원자간 진동간격 최소단위의 에너지값. 물질의 양자역학적 성질을 결정하는 기본 상수로, 더 이상 쪼갤 수 없는 원자 단위 에너지의 크기를 나타낸다. 막스 플랑크가 전자기파 에너지의 양자화를 제창하며 도입한 상수로서, 흑체복사에 관한 막스 플랑크 법칙을 설명하는 본인의 1900년 12월 14일 논문 《정상 스펙트럼에서 에너지 분포 법칙의 이론에 대하여》(Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum, 영어 버전)[1]에서 처음으로 등장하며 '보조'를 뜻하는 독일어 Hülfe[2]의 머리글자에서 따온 것으로 추정[3]된다. 막스 플랑크가 독일인이기 때문에 h를 독일어식으로 '하'라고 읽으나[4], 최근엔 그냥 영어식으로 에이치(h)로 읽는 경우도 있다.

물리적인 차원은 작용(action)의 차원이고 값은 2019년 5월 20일부로 $6.626\,070\,15\times10^{-34}\ {\rm J \cdot s}$로 참값이다. 측정할 때마다 결과값이 계속 다르게 나오므로 $6.626\,06$까지 정도만 국제적으로 거의 통일된 값이었는데, 2017년 10월 16일에 소수점 이하 8자리까지의 값이 국제적으로 합의되었고, 이후 SI 단위 중 $\rm kg$의 정의가 플랑크 상수 기반으로 바뀌면서 고정된 참값이 되었다. 양자역학에 줄($\rm J$)보다 더 많이 쓰는 $\rm eV$ 단위로는 $4.135\ 667\ 696 \times 10^{-15} {\rm\ eV \cdot s}$.

이와 관련된 다음과 같은 근사가 있다. 빠르게 계산할 때 요긴하다.

의미는 '단위 진동수당 에너지'. 플랑크 상수는 흑체복사를 설명하기 위해 등장한 에너지 양자화 개념의 단위를 정해주는 핵심적인 상수인데, 양자화 개념 자체가 흑체복사의 실험값에 이론을 끼워 맞추는 시도 중에 우연히 등장한 것이다. 이는 진동수가 $\nu$인 빛에 의한 에너지 교환이 $h\nu$의 정수배 단위로만 이뤄진다는 개념으로, 진동수가 큰 빛일수록 단위 덩어리의 에너지가 높아져서 덩어리 하나를 만들어 내는 것이 지수함수적으로 힘들어져 (그렇지 않으면 발산했을) 전체 에너지를 수렴시킨다는 개념으로 무한한 개수의 진동수가 에너지에 기여하면 총 에너지가 무한이 된다는 '자외선 파탄'을 해결한 것이다. 그는 1900년 10월 14일 논문 《빈의 스펙트럼 방정식의 개선에 관하여》(Ueber eine Verbesserung der Wien'schen Spectralgleichung, 영어 버전)[5]에서 빈 법칙을 따를 경우 엔트로피와 에너지의 관계가 통계역학적으로

를 만족한다는 것을 알아냈고, 실험 결과에 맞추기 위해 위 관계식을 다음과 같이 수정하고

열역학에서 $\dfrac{{\rm d}S}{{\rm d}U} = \dfrac1T$라는 점을 참고하여 위 미분방정식을 풀고 빈 법칙과 식을 비교하여

를 이끌어냈고, 후에 통계역학적인 수법으로 위 수식 꼴을 유도할 때 진동수에 곱할 비례 상수로서 $h$를 처음으로 언급한다. 개요에서 전술한 1900년 12월 논문 및 1901년 논문 《정상스펙트럼에서의 에너지 분포 법칙에 대하여》(Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum, 영어 버전)[6]에서 그는 $h = 6.55 \times 10^{-27}\ {\rm erg \cdot s}$라는 구체적인 값까지 제시했는데 ${\rm\,erg} = 10^{-7}{\rm\,J}$이므로 사실상 $6.55 \times 10^{-34}\ {\rm J \cdot s}$로서 오늘날 참값 $6.626\ 070\ 15 \times 10^{-34}\ {\rm J \cdot s}$와 꽤 근접한 값이다. 자세한 유도 과정은 흑체복사를 참고하자.

처음 등장할 때만 해도 미심쩍던 에너지 양자 개념이 20세기 물리학의 핵심으로 올라가게 된 것은 광전효과를 깔끔하게 설명할 수 있게 되면서부터다. 물질에 빛을 쪼여 에너지를 전달하면 이를 원자가 흡수하여 전자를 방출하게 된다. 이때 튀어나오는 전자의 운동에너지는 빛의 밝기(광자의 양)에는 무관하게 오로지 빛의 진동수로만 결정된다. 에너지가 양자화된 이론에서는 이것을 양자 덩어리 개수가 아니라 덩어리 하나당 에너지가 전자의 운동에너지를 결정한다는 논리로 설명할 수 있다.[7]

매우 자주 쓰이는 상수이다. 불확정성 원리부터 시작해서 전자의 오비탈, 광전효과, 슈뢰딩거 방정식 등 양자역학에 관련된 식에는 모조리 등장. 양자역학의 알파이자 오메가이며, 가히 열려라 참깨급 만능키로, 단위계에 에너지와 시간이 죄다 들어가있는 등 (에너지는 무게와 거리로도 환산된다.), 현존하는 물리학 내에 쓰이는 단위는 거의 다 들어가있으므로 요리조리 변환해서 플랑크 단위로 잘 써먹고 있다. 너무 자주 쓰이다 보니 자연 단위계처럼 그냥 1로 놓고 계산을 한 다음 맨 마지막에 단위 맞추기 용으로 분모분자에 적절히 곱해주기도 한다.

2018년 11월 16일에 열린 국제 도량형 총회(CGPM)에서 SI 단위를 전면 재정의하면서 $\rm kg$의 정의 또한 이렇게 고정된 플랑크 상수 값을 기반으로 재정의하는 데에 만장일치로 합의되었고, 2019년 5월 20일부터는 새로 정의한 $\rm kg$을 사용한다.

진동수 $\nu$의 정의는 '단위 시간(초)당 반복되는 주기의 횟수'이며, '주기의 횟수'는 회전량 $\theta$를 매개로 하여 $\dfrac{\theta}{2 \pi\ {\rm rad}}$로 기술할 수 있으므로 시간을 $t$로 나타내면 $\nu = \dfrac{\theta}{2 \pi\ {\rm rad}} \dfrac{1}{t}$이 된다. 이때 $\dfrac{\theta}{t}$는 각진동수 $\omega$와 같으므로 결과적으로 $\nu = \dfrac{\omega}{2 \pi\ {\rm rad}}$이다. 이를 빛이 갖는 에너지에 대한 식 $E = h\nu$에 대입하면

가 용이하게 유도된다. 이때 $\dfrac{h}{2 \pi}$를 디랙 상수(Dirac constant) 또는 환산 플랑크 상수(reduced Planck constant)라고 하며 $\hbar$로 나타낸다. 발음은 '에이치 바(bar)'[8]로 읽는다. 단위 역시 플랑크 상수와 똑같은 $\rm J \cdot s$를 쓰며, 이것이 각운동량의 기본 단위인 것도 전술한 이유 때문[9]이고, 슈뢰딩거 방정식도 $\hbar$를 쓰는 게 더 간결하기도 해서, 물리이론을 전개하다 보면 이렇게 묶어서 사용하는 게 유용한 경우가 많다. '$\hbar$로 나눈다. = 양자화'급. 이 상수가 등장하는지 등장하지 않는지에 따라 양자역학적인 식인지 아닌지가 판별될 정도이다. 원 태생이 흑체 복사였기 때문에 당연히 열역학과 통계역학, 전자기학에도 엄청 나온다. 공돌이들이 계산기 두드리기 귀찮게 하는 주범이기도 하다.

자매품으로 플랑크 시간, 플랑크 길이, 플랑크 질량 등의 플랑크 단위가 있다. 모두 정의에 디랙 상수가 들어간다.

미드 기묘한 이야기 시즌3 마지막 부분에서 금고의 비밀번호로 나온다. 단 극의 촬영시점이 2018년 초반이라 그런지, 2014년 CODATA 발표값인 6.62607004로 등장한다. 문제는 극중 배경이 1985년이라는 것. 당시 기준으로는 1973년도 발표값인 6.626176을 써야 맞다. 극 중 초반부에서는 더스틴의 가상 여자친구로 자리매김 하는 듯 했으나, 후반부에서 실제 존재한다는 것이 밝혀지면서 수지가 외워준다.